Am Anfang des do fehlte ein if:
Code
do {
if (count <= 3) { // Hier fehlte das "if"
var eingabe = prompt(count + ". Versuch. Wie hieß der erste Erdbewohner im All:", "");
}
Und die schließende geschweifte Klammer ganz am Ende musst Du vor das while verschieben:
Code
} while (eingabe != antwort1)
{
document.getElementById("ergebnis").innerHTML = "3 × falsch";
}
// } die schließende Klammer gehört vor das "while"
Dann sind zumindest schon Mal die Syntaxfehler raus und die Frage wird angezeigt.