Übergabe von Values aus Formular

Ich vermute mal, dass diese verketteten += nicht so funktionieren, wie man es erwartet. Versuche es statt dessen so:

webseite += vw + audi + skoda + keys;

Das ist der falsche Ansatz, eine URL mit mehrfach dem gleichen Parameter-Schlüssel zu haben.

Es gibt die Möglichkeit, diese als Array zu übermitteln. Dein Formular würde ich bspw. in etwa so erstellen:

<form action="#" method="post" name="FORM">
  <p>Marke:</p>
  <input type="checkbox" name="t_manuf[]" id="vw" value="vw">VW
  <input type="checkbox" name="t_manuf[]" id="audi" value="audi">Audi
  <input type="checkbox" name="t_manuf[]" id="skoda" value="skoda">Skoda

  <input type="button" name="buttonSuche" value="Suchen">
</form>

Im Javascript kannst du dann nämlich auf alle t_manuf als NodeList zugreifen:

var _checks = document.querySelectorAll('[name^="t_manuf"]');

Diese NodeList brauchst Du dann nur noch in einer Schleife durchlaufen und die Parameter zusammenbauen.

Da gibt es natürlich viele Wege, ich würde auch hier wieder ein Array nehmen und bspw. so vorgehen:

var _values = [];
  
  _checks.forEach(i => {
    if (i.checked)
      _values.push(encodeURIComponent(i.value));
  });

Im Prinzip brauchst Du dann nur noch das Array _values Komma separiert zusammenfügen, was über _values.join(',') relativ einfach geht.

Deine URL sollte dann entweder den Parameter t_manuf abhängig von dem Inhalt des Array _values entweder leer oder gar nicht übergeben.

Btw. onclick würde ich nicht verwenden, stattdessen addEventListener.

PS: Ich hätte das gleich testen sollen: Die verketteten += sind nicht das Problem, sondern die Variablen sind undefiniert, wenn die Checkbox nicht gecheckt ist. Und bei den keys ist das führende & überflüssig, weil die Parameter aus den Checkboxen es schon haben. Dieses liefert die gewünschte URL:

        function openUrl() {
            //Formulardaten auslesen und in Variablen speichern
            var webseite = "https://www.example.de/suche?";
            var keys = "dealerid=TEST";

            var vw = '', audi = '', skoda = '';
            if (document.FORM.vw.checked) {
                var vw = document.FORM.vw.value;
            }
            if (document.FORM.audi.checked) {
                var audi = document.FORM.audi.value;
            }
            if (document.FORM.skoda.checked) {
                var skoda = document.FORM.skoda.value;
            }


            //Suchdienst URL und Suchbegriff zusammen bringen
            webseite += vw += audi += skoda += keys;

            //Such URL aufrufen
            // window.location = webseite;
            console.log(webseite);
        }

Leute, Leute, Leute... und wenn dann eine Option dazu kommt, geht man wieder in den Code und setzt noch eine IF ein.

Respekt fürs Ignorieren sinnvoller Lösungswege...