Kernproblem: Um fest zu stellen ob 3x falsch geraten wurde, musst Du den Schleifenzähler count abfragen, nicht den String.
Ich bin der Meinung, dass die Arbeit mit break und continue nur Verwirrung stiftet, klarer wird es, wenn man verschachtelte if-Abfragen verwendet:
<script>
function schreibwas() {
var count = 1;
var antwort1 = "Laika";
var antwort2 = "Juri Gagarin";
// antwort3 ist keine Antwort sondern eine Meldung an den Benutzer
// var antwort3 = "3x falsch";
do {
var eingabe = prompt(count + ". Versuch. Wie hieß der erste Erdbewohner im All:", "");
if (eingabe == antwort2) {
alert("Fast richtig, Sie dürfen noch einmal raten");
// Der Benutzer darf noch ein Mal raten
} else if (eingabe == antwort1) {
alert("Das ist richtig");
// Richtige Antwort, durch die Bedingung am Schleifenende wird
// die Schleife verlassen werden
} else
// Wenn wir an dieser Stelle ankommen, wurde falsch geraten.
// Prüfen, ob es schon der letzte Versuch war:
if (count >= 3) {
document.getElementById("ergebnis").innerHTML = "3x falsch";
} else {
document.getElementById("ergebnis").innerHTML = "Falsch, Sie dürfen noch einmal raten";
}
count++;
} while (eingabe != antwort1 && count <= 3)
}
</script>
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(ungetestet)